使用模拟乘法器的同步解调与基于开关的乘法器

在之前的文章中，我们了解了同步解调技术的基础知识。该技术有助于测量隐藏在闪烁噪声中的低频信号。它试图以比电路的 1/f 拐角频率高得多的频率运行电路，以便闪烁噪声不再是限制因素。

在之前的文章中，我们了解了同步解调技术的基础知识。该技术有助于测量隐藏在闪烁噪声中的低频信号。它试图以比电路的 1/f 拐角频率高得多的频率运行电路，以便闪烁噪声不再是限制因素。
同步解调技术可以使用模拟乘法器或基于开关的乘法器来实现。从实现的角度来看，基于开关的乘法更方便。
在本文中，我们将探讨使用此类乘法器的优缺点。
使用模拟乘法器的同步解调
图 1 显示了实现同步解调技术的基本框图。 

图1

假设运算放大器的输出信号为vB(t)=Bsin(2πfint+?)，我们得到：
vC(t)=Asin(2πfint)×Bsin(2πfint+?)=12ABcos(?)?12ABcos(4πfint+?)
第二项是输入频率的两倍，被低通滤波器抑制。所以我们有：
vD(t)=12ABcos(?)
如果我们假设运算放大器没有引入任何延迟，即 ?=0，我们得到 vD(t)=12AB。因此，低通滤波器的输出与节点 A 的信号幅度成正比，可用于测量 Csense 的值。
上述设计有一个主要缺点：它需要一个模拟乘法器。
模拟乘法器，例如吉尔伯特单元，通常存在线性问题。（有关更多信息，请参阅本书的第 10.3 节。） 
我们可以使用基于开关的电路来执行所需的乘法，而不是使用模拟乘法器。
在本文中，我们将研究乘以方波的基本概念，并将其噪声性能与使用模拟乘法器的同步解调系统的噪声性能进行比较。
使用方波的同步解调
基于方波的同步解调器的框图如图 2 所示。“过零检测器”用于将输入正弦波转换为驱动开关 SW 的方波。 

图 2

由于方波是从正弦波的过零点生成的，因此两个波形的周期相同（如图 3 所示）。

图 3

当方波为高电平时，运放的输出信号直接加到低通滤波器；但是，当方波较低时，信号在到达低通滤波器之前会经历 -1 的增益。实际上，运算放大器输出乘以方波。
傅立叶分析表明，上述方波的频谱由方波基频的奇次谐波处的正弦波组成。假设波形的高低值分别为1和-1，我们得到如下：
vsquarewave(t)=∞∑n=1,3,54nπsin(2πnfINt)
当我们将一个频率为 f1 的正弦波乘以另一个频率为 f2 的正弦波时，我们在和 (f1+f2) 和差 (f1?f2)处得到两个余弦项) 频率。将 vB(t)=Bsin(2πfint+?) 乘以方波的每个频率分量将导致在相应的和频和差频处的两个频率分量。您可以在图 4 中看到此结果。 

图 4

如您所见，我们有一个 DC 项以及传感器激励频率的偶次谐波处的频率分量。高频分量将被窄低通滤波器抑制，并且将仅保留可用于提取 Csense 值的 DC 项。
请注意，2fIN 处的输出频率分量源自两个不同的乘法：将 vB(t) 乘以方波的谐波的和频率项 (fIN+fIN=2fIN)和vB(t)乘以方波的三次谐波的差频项((3f_{IN}-f_{IN}=2f_ {在}））。类似地，在 4fIN,6fIN,? 处的每个输出频率分量都源自两个不同的乘法。
乘方波的噪声性能
图 2 中所示的同步解调用开关和一些其他模块代替了模拟乘法器。我们将看到这种新方法的电路实现比基于模拟乘法器的方法容易得多。
但是，使用基于方波的解调器时，输入会乘以传感器激励频率的所有奇次谐波。
这些不需要的乘法会增加低通滤波器输出端的噪声吗？
为了更好地理解为什么人们应该担心这些不需要的倍增，请考虑图 5 中显示的光谱。

图 5

在此图中，黑色曲线显示节点 B 处噪声的频率内容，而蓝线表示方波的频谱。 
当这两个信号在时域相乘时，方波的给定频率分量 (nfIN) 会将噪声频谱向右和向左移动 nfIN （就像两个正弦波相乘在两个输入正弦波的和频和差频处产生频率分量一样）。
乘法之后，我们有低通滤波器。这意味着只有部分移频为直流且位于滤波器通带中的噪声将保留下来，而其他噪声分量将被抑制。
哪些噪声分量将被下变频为直流电？答案是：只有接近方波频率分量的噪声分布区域（图 6 中的彩色区域）。

图 6 

理想的方波由无限数量的奇次谐波频率分量组成。理论上，有无限数量的噪声区域被频移到 DC。
这是否意味着基于方波的方法的噪声高得无法接受？
令人惊讶的是，与图 3 中所示的方波相乘不会增加 DC 处的噪声（请参见下面的证明）。当方波为高电平时，节点B处的噪声直接传递到节点C；当方波较低时，噪声以-1 的增益传递。
在分析噪声效应时，我们感兴趣的是它的功率（在数学上涉及平方运算）。因此，可以忽略方波低电平状态的 -1 增益，我们可以假设，对于方波的整个周期，节点 B 处的噪声被转移到节点 C。
基于这一观察，我们知道基于方波的乘法器输出端的总噪声功率与其输入端的总噪声功率相同。然而，这种直观的论证并没有揭示我们在乘法器之后的 DC 处会有多少噪声。（请注意，我们对低频噪声感兴趣，因为低通滤波器会拒绝其他噪声分量。） 
下一节的数学分析可以让我们更好地了解基于方波的乘法器的噪声性能。 
系统噪声的数学分析
我们讨论了只有接近方波频率分量的噪声分布区域（图 6 中的彩色区域）才能下变频为直流电。图 6 表明，如果 fIN 足够大于 1/f 转角频率，则闪烁噪声不会影响低通滤波器输出端的噪声功率。为了计算低通滤波器输出端的噪声功率，我们可以忽略闪烁噪声。
鉴于此，我们假设噪声功率谱密度 (PSD) 是平坦的，并且在所有频率下都具有单侧的 η 值（如下面的图 7(a) 所示）。在单侧表示中，负频率的噪声功率围绕垂直轴折叠并添加到正频率的功率。
对于实信号，PSD 是偶函数，因此图 7(a) 中频谱的等效双侧 PSD 将如图 7(b) 所示（包括负频率，但 PSD 值为减半）。

图 7

使用图 7(b) 中的平坦频谱，我们可以更轻松地计算输出噪声，因为将 PSD 向右或向左移动都不会改变它。让我们检查一下方波的第 n 个频率分量的影响，例如 vsquarewave,n(t)=4nπsin(2πnfINt)，在图 7(b) 中描绘的 PSD 上。该术语可以重写为：
vsquarewave,n(t)=4nπ×ej2πnfINtej2πnfINt2j
项 e±j2πnfINt 会使 PSD 发生频移，但可以忽略，因为 PSD 是平坦的。这些偏移的 PSD 将经历 A=±4j2nπ的衰减因子。我们知道，将 PSD 为 Sinput(f) 的噪声应用于传递函数为H(f)的系统会导致噪声 PSD 为 Sinput(f)×|H(f)|2 在系统输出（请参阅本文）。因此，方波的第 n 个分量将在输出端导致以下两侧 PSD：
PSDout,n=η2×(|+4j2nπ|2+|4j2nπ|2)=2×η2×(42nπ)2= fracη2×8(nπ)2
总噪声将是 n 的所有奇数值的 PSDout,n 项之和。这给了我们：
PSDout=∞∑n=1,3,5η2×8(nπ)2=η2×8(π)2∞∑n=1,3,51n2
可以证明
∞∑n=1,3,51n2=π28
所以现在我们有
PSDout=η2
如您所见，假设节点 B 处的 PSD 是平坦的，基于方波的乘法器不会改变 PSD 值或形状。 
其他噪声源呢？
考虑到上述讨论，具有平坦输入噪声频谱的基于方波的乘法器的输出 PSD 与输入噪声的输出 PSD 相同。然而，与使用模拟乘法器的系统相比，基于方波的同步解调器的噪声抑制仍然较差。
例如，假设图 2 中放大器的输出端出现 3 kHz 的强噪声分量。如果我们使用 fIN=1KHz 的传感器激励频率，则平方的三次谐波波将与噪声频率重合。噪声将被下变频为直流电，并出现在低通滤波器的输出端。
这意味着，在使用基于方波的解调器时，我们必须考虑潜在的噪声成分（例如电源线频率的谐波）并为传感器选择合适的激励频率。
结论
同步解调技术可以使用模拟乘法器或基于开关的乘法器来实现。从实现的角度来看，基于开关的乘法更方便。
如果我们将平坦噪声 PSD 应用于基于开关的解调器，则输出 PSD 将与输入相同。基于方波的解调器的噪声性能不应低于基于模拟乘法器的系统。但是，我们必须为传感器选择合适的激励频率，使其他已知噪声源（例如电力线谐波）不会与方波的奇次谐波重合。